Question

如图所示，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，连接AC．

（1）求异面直线AD与BC所成角大小；
（2）求二面角B-AC-D平面角的大小； 
（3）求四面体ABCD外接球的体积．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BD=2，AB⊥BD，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与BC所成角．
（2）分别求出平面ABC的法向量和面DAC的法向量，利用向量法能求出二面角B-AC-D的大小．
（3）由四面体ABCD的外接球球心在AD中点，由此能求出四面体ABCD外接球的体积．

解答： 解：（1）在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos45°=4，
解得BD=2，∴AB⊥BD，
在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，
过D垂直于平面BDC的射线为z轴，建立如图空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
由于

AD

=(-2，0，-2)，

BC

=（-2，2，0），
设AD与BC所成角为θ，则cosθ=|

AD • BC

| AD |•| BC |

|=

1

2

，
∴θ=60°，
即异面直线AD与BC所成角为60°．
（2）设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），
而

BA

=(0，0，2)，

BC

=（-2，2，0），
由

n • BA =2z=0 n • BC =-2x+2y=0

，取

n

=（1，1，0），
再设平面DAC的法向量为

m

=（x，y，z），
而

DA

=（2，0，2），

DC

=（0，2，0），
由

m • DA =2x+2z=0 m • DC =2y=0

，取

m

=（1，0，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

1

2

，
∴二面角B-AC-D的大小是60°．
（3）由于△ABC，△ADC均为直角三角形，
∴四面体ABCD的外接球球心在AD中点，
又AC=2

3

，∴球半径R=

3

，
∴V_A-BCD=

4

3

πR3=4

3

π．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的平面角的大小的求法，考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．