Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

4

5

．
（1）求sin²

B+C

2

+cos2A的值．
（2）当b=2，三角形的面积为3，求tanC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosA的值代入计算即可求出值；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，利用余弦定理求出a的值，进而求出cosC与sinC的值，即可求出tanC的值．

解答： 解：（1）∵cosA=

4

5

，
∴原式=

1-cos(B+C)

2

+2cos²A-1=

1+cosA

2

+2cos²A-1=

1+ 4 5

2

+2×

16

25

-1=

9

10

+

32

25

-1=

59

50

；
（2）∵cosA=

4

5

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

，
∵b=2，S=3，
∴S=

1

2

bcsinA，即3=

1

2

×2c×

3

5

，即c=5，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+25-16=13，即a=

13

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

13+4-25

4 13

=-

2 13

13

，sinC=

3 13

13

，
则tanC=-

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．