Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n（不需证明）
（2）记b_n=

2

2-an

，当n＞4时，试比较b_n与n²的大小，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）通过n=1，2，3，4，直接计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式；
（2）直接利用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a₂=

3

2

．
同理：a₃=

7

4

，a₄=

15

8

．
由此猜想an=2-

1

2n-1

（2）bn=2n，当n＞4时，b_n＞n²．
①当n=5时，左边=32，右边=25，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即2^k＞k²，当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2k²，
只证2k²＞（k+1）²（k≥5）即可，显然成立，
由①②知当n＞4时，b_n＞n²．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．