Question

等差数列200的各项均为正数，100，前148.4项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x²+ax+1对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，求得等差数列和等比数列的通项公式，代入b₂S₂=32，b₃S₃=120联立方程组求得等差数列的公差和等比数列的公比，则a_n与b_n可求；
（2）把a_n与b_n代入a_nb_n，利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）求出等差数列的前n项和，代入

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，利用裂项相消法求和后得到

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

，问题等价于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，由f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，则d为正整数，
an=3+(n-1)d，bn=2qn-1，
依题意有

S3b3=(9+3d)2q2=120 S2b2=(6+d)2q=32

，
解得：

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 10 3

．
故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=2n；
（2）anbn=(2n+1)•2n．
Tn=3•2+5•22+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，
2Tn=3•22+5•23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
两式相减得-Tn=3•2+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)•2n+1
=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn=(2n-1)•2n-1+2；
（3）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，
问题等价于f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，
即1-

a2

4

≥

3

4

，即a²≤1，解得-1≤a≤1．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法与裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，体现了数学转化思想方法，是压轴题．