Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n，n∈N^*．（S_n为前n项和）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；
（2）推导{a_n}中相邻两项的关系式并化简．

Answer 1

考点：数列递推式,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n=2n-a_n，代入计算，可得a₁，a₂，a₃，a₄，并由此能猜想a_n；
（2）利用数学归纳法证明an=

2n-1

2n-1

．（n∈N^*）成立，由此能推导出an=

1

2

an-1+1，n≥2．

解答： 解：（1）∵S_n=2n-a_n，
∴a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1，
S₂=1+a₂=2×2-a₂，解得a2=

3

2

，
S3=1+

3

2

+a3=2×3-a3，解得a3=

7

4

，
S4=1+

3

2

+

7

4

+a4=2×4-a4，解得a4=

15

8

．
由此猜想：an=

2n-1

2n-1

．
（2）：①当n=1时，a₁=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1时，
a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=

2+ak

2

=

2k+1-1

2k

，
这表明n=k+1时，结论成立，
由①②知猜想an=

2n-1

2n-1

．（n∈N^*）成立．
∴an-1=

2n-1-1

2n-2

=

2n-2

2n-1

=

2n-1

2n-1

-

1

2n-1

，
∴

1

2

an-1+1=

2n-1

2n

-

1

2n

+1=

2•2n-2

2n

=

2n-1

2n-1

=a_n．
∴an=

1

2

an-1+1，n≥2．

点评：本题考查a₁，a₂，a₃，a₄的求法并由此猜想a_n，考查{a_n}中相邻两项的关系式的推导并化简，是中档题，解题时要认真审题．