Question

（1）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值；
（2）已知不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，求不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,基本不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）把

1

x

+

1

y

化为（

1

x

+

1

y

）（2x+y）=2+

2x

y

+

y

x

+1，利用基本不等式求出最小值；
（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，求出a、b的值，再化简不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，讨论c的值，从而求出该不等式的解集．

解答： 解：（1）∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y）
=2+

2x

y

+

y

x

+1≥3+2

2x y • y x

=3+2

2

，---（6分）
当且仅当

2x y = y x 2x+y=1

，
即

x= 2- 2 2 y= 2 -1

时，取得“=”；
∴

1

x

+

1

y

的最小值是3+2

2

；---（7分）
（2）∵不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
∴x=1是方程ax²-3x+6=4的实数根，
∴a-3+6=4，
解得a=1；
∴x=b也是方程x²-3x+2=0的实数根，
∴b=2；
∴不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0可化为
x²-（c+2）x+2c＜0，
即（x-c）（x-2）＜0；
解这个不等式，得：
当c=2时，不等式的解集为∅，
当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2时，不等式的解集我{x|c＜x＜2}．

点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，考查了分类讨论思想，是综合题．