Question

已知椭圆Σ的两个焦点分别是F₁（-2，0）、F₂（2，0），并且经过点P（

5

2

，-

3

2

）．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）求∠F₁PF₂的平分线所在直线的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义，即可求椭圆Σ的标准方程；
（2）（方法一）利用向量法，（方法二）利用角平分线的性质，可求∠F₁PF₂的平分线所在直线的方程．

解答： 解：（1）依题意，设椭圆Σ的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）c=2…（2分），2a=

(-2- 5 2 )2+( 3 2 )2

+

(2- 5 2 )2+( 3 2 )2

=2

10

…（4分）
所以a=

10

，b=

a2-c2

=

6

…（5分）
椭圆Σ的标准方程为

x2

10

+

y2

6

=1…（6分）
（2）由图可知，∠F₁PF₂的平分线与x轴相交，设交点为Q（m，0）…（7分）
（方法一）

PQ

=(m-

5

2

，

3

2

)，

PF1

=(-

9

2

，

3

2

)，

PF2

=(-

1

2

，

3

2

)…（8分）
依题意，∠F₁PQ=∠F₂PQ，cos∠F₁PQ=cos∠F₂PQ，

PF1 • PQ

| PF1 |•| PQ |

=

PF2 • PQ

| PF2 |•| PQ |

…（10分）
即

- 9 2 m+ 27 2

3 10 2 (m- 5 2 )2+ 9 4

=

- m 2 + 7 2

10 2 (m- 5 2 )2+ 9 4

…（11分）
解得m=1…（12分）
角平分线PQ所在直线的方程为

y-0

- 3 2 -0

=

x-1

5 2 -1

，即x+y-1=0…（13分）
（方法二）|PF1|=

( 5 2 +2)2+( 3 2 )2

=

3

2

10

，|PF2|=

1

2

10

…（8分）
因为PQ是角平分线，所以

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

…（10分）
即

3

1

=

m+2

m-2

…（11分）
解得m=1…（12分）
角平分线PQ所在直线的方程为

y-0

- 3 2 -0

=

x-1

5 2 -1

，即x+y-1=0…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．