Question

已知函数y=x²+alnx+

2

x

在（1，4）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为y′=2x+

a

x

-

2

x2

，
若函数y=x²+alnx+

2

x

在（1，4）上单调递减，
则函数y′=2x+

a

x

-

2

x2

≤0在（1，4）恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在（1，4）恒成立，
∵函数f（x）=

2

x

-2x²的导数f′（x）=-

2

x2

-4x＜0，
∴函数在（1，4）上单调递减，
∴f（4）＜f（x）＜f（1），
即-

15

2

＜f（x）＜0，
则a≤-

15

2

．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数的单调性转化为函数最值恒成立是解决本题的关键．