Question

已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，E、F分别为AB、PC的中点．
（1）求PC与平面PAB所成角的大小；
（2）求异面直线PE与AC所成角的大小；
（3）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由BC⊥AB，BC⊥PA，知PC与平面PAB所成的角为∠PCB，由此能求出PC与平面PAB所成角的大小．
（2）连结AC，过E作EG∥AC，交BC于G，则∠PGC就是异面直线PE与AC所成角，由此能求出异面直线PE与AC所成角为45°．
（3）取PB的中点点H，连结AH，HF，AF，则二面角A-PB-C的平面角为∠AHF，由此能求出二面角A-PB-C的大小．

解答： 解：（1）∵BC⊥AB，BC⊥PA，
∴PC与平面PAB所成的角为∠PCB，
∵PA=AB=4，∴PB=4

2

，
∵BC=4，∴PC=4

3

，
∴sin∠PCB=

6

3

，∴∠PCB=arcsin

6

3

．
∴PC与平面PAB所成角的大小为arcsin

6

3

．
（2）连结AC，过E作EG∥AC，交BC于G，
则∠PGC就是异面直线PE与AC所成角，
∵PE=

42+22

=2

5

，EG=

4 2

2

=2

2

，
PG=

42+42+22

=6，
∴cos∠PGC=

36+8-20

2•6•2 2

=

2

2

，∴∠PGC=45°．
∴异面直线PE与AC所成角为45°．
（3）取PB的中点点H，连结AH，HF，AF，
∵AH⊥PB，HF⊥PB，
∴二面角A-PB-C的平面角为AHF，
∵AH=

4 2

2

=2

2

，HF=

4

2

=2，AF=

4 3

2

=2

3

，
cos∠AHF=

8+4-12

2•2 2 •2

=0，∴∠AHF=90°．
∴二面角A-PB-C的大小为90°．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．