Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，2sinBcosC=sinA．
（1）求角A的大小；
（2）若S_△ABC=

3

，求边a的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）把tan

A+B

2

+tan

C

2

=4转化成正弦和余弦的关系式，求得sinC的值，进而求得C，整理2sinBcosC=sinA可求得sin（B-C）=0，判断出B=C，进而求得A．
（2）利用正弦定理求得b的表达式，代入三角形面积公式求得答案．

解答： 解：∵tan

A+B

2

+tan

C

2

=4，
∴

cos C 2

sin C 2

+

sin C 2

cos C 2

=4，
∴

1

sin C 2 cos C 2

=4，
∴sinC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

或

5π

6

∵2sinBcosC=sinA
∴2sinBcosC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0，
∴C=B=

π

6

，
∵A=π-C-B=

2π

3

，．
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

a

sinA

•sinB=

3

3

a，
∵C=B
∴c=b
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

3

3

a×

3

3

a×

3

2

=

3

12

a2=

3

，
∴a=2

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理的运用，三角形恒等变换的应用．要充分利用好已知条件，必须是先化简再求值．