Question

12．已知函数f（x）=lnx，g（x）=kx²-ax，其中k，a为实数．
（1）若k=1，a=0，求方程f（x）+g（x）=0的零点个数；
（2）若a=0，实数k使得f（x）＜g（x）恒成立，求k的取值范围；
（3）若k=1，试讨论函数h（x）=|g（x）|-f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性以及函数的零点定理求出F（x）=0 仅有一个零点；
（2）问题转化为k＞$\frac{lnx}{{x}^{2}}$ 在x＞0 时恒成立，则$k＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，记$G（x）=\frac{lnx}{x^2}，（x＞0）$，根据函数的单调性求出k的范围即可；
（3）通过讨论a的范围，求出h（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）k=1，a=0，则f（x）+g（x）=lnx+x²，
记F（x）=lnx+x²，
因为F（x） 在（0，+∞） 上单调递增，
$F（\frac{1}{e}）=ln\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}=-1+\frac{1}{e^2}＜0$，F（1）=1＞0，
所以F（x）=0 仅有一个零点${x_0}∈（\frac{1}{e}，1）$，
即方程f（x）+g（x）=0 的零点个数为1．
（2）由a=0，实数k 使得f（x）＜g（x） 恒成立，
可得k＞$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在x＞0 时恒成立，则$k＞{（\frac{lnx}{x^2}）_{max}}$，
记$G（x）=\frac{lnx}{x^2}，（x＞0）$，$G'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}$，
当$x∈（0，\sqrt{e}），G'（x）＞0$，G（x） 在$（0，\sqrt{e}）$ 上单调递增，
当$x∈（\sqrt{e}，+∞），G'（x）＜0$，G（x） 在$（\sqrt{e}，+∞）$ 上单调递减，
则$x=\sqrt{e}$ 时，G（x） 取得最大值$\frac{1}{2e}$，
故k 的取值范围是$（\frac{1}{2e}，+∞）$．
（3）k=1，h（x）=|x²-ax|-lnx，（x＞0），
若a≤0，则h（x）=x²-ax-lnx，
故$h'（x）=2x-a-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-ax-1}}{x}$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{{a±\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，（负值舍去），
记$b=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}$，
于是，h（x） 在区间（0，b） 上单调递减，
在区间（b，+∞） 上单调递增；         
若a＞0，先讨论h（x）=x²-ax-lnx（x≥a） 的单调性，
由$h'（x）=2x-a-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-ax-1}}{x}$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}＞0$，
当b＞a，即a＜1 时，h（x） 在区间（a，b） 上单调递减，
在区间（b，+∞） 上单调递增；
当b≤a，即a≥1时，h（x） 在区间（a，+∞） 上单调递增；                    
再讨论h（x）=-x²+ax-lnx（0＜x＜a） 的单调性，
注意到$h'（x）=-2x+a-\frac{1}{x}=\frac{{-2{x^2}+ax-1}}{x}$ 
当△=a²-8≤0 时，即0＜a≤2$\sqrt{2}$时，h'（x）≤0 
h（x） 在区间（0，a） 上单调递减．
当△=a²-8＞0 时，即$a＞2\sqrt{2}$ 时，令h'（x）=0，得$x=\frac{{a±\sqrt{{a^2}+8}}}{4}＜a$，
则h（x） 在区间$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}），（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，a）$ 上单调递减，
在区间$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 上单调递增；                          
综上，当a＜1 时，h（x） 在区间$（0，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 
上单调递减，在区间$（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+4}}}{4}，+∞）$ 上单调递增；
当1≤a≤2$\sqrt{2}$时，h（x） 在区间（0，a） 上单调递减，在区间（a，+∞） 上单调递增；
当$a＞2\sqrt{2}$ 时，则h（x） 在区间$（0，\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}），（\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，a）$ 上单调递减，
在区间$（\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8}}}{4}，\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8}}}{4}）$ 上单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．