Question

16．已知F是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于$\sqrt{3}$，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{2}}]∪（{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}，\frac{3}{2}}]$
• C． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）∪（{\frac{{3\sqrt{3}}}{8}，\frac{3}{2}}）$
• D． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到满足直线FP的斜率大于$\sqrt{3}$的P的范围，则直线OP的斜率的取值范围可求．

解答 解：由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得a²=4，b²=3，∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$．
则F（-1，0），
如图：过F作垂直于x轴的直线，交椭圆于A（x轴上方），则x_A=-1，
代入椭圆方程可得${y}_{A}=\frac{3}{2}$．
当P为椭圆上顶点时，P（0，$\sqrt{3}$），此时${k}_{FP}=\sqrt{3}$，
又${k}_{OA}=-\frac{3}{2}$，
∴当直线FP的斜率大于$\sqrt{3}$时，直线OP的斜率的取值范围是$（-∞，-\frac{3}{2}）$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．