Question

设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-

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时，f （x）取得极大值

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，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤

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（x∈R）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的几何意义

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先根据图象关于y轴对称，得其偶函数f（-x）=f（x），求得a₀=a₂=0，再利用导数研究单调性，列方程求得a₁和a₃，从而求f （x）的表达式；
（2）设所求两点的横坐标为x₁、x₂再利用切线的斜率之积为1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得结果；
（3）因为|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求证：|f （sin x）-f （cos x）|≤

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（x∈R），只须探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范围即可，故只要利用导数研究函数f（x）的单调性即可．

解答： （1）解：∵f?（x）=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃为偶函数，∴f′（-x）=f′（x），
∴-4a₀x³+3a₁x²-2a₂x+a₃=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃，
∴4a₀x³+2a₂x=0对一切x∈R恒成立，
∴a₀=a₂=0，∴f （x）=a₁x³+a₃x
又当x=-

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时，f （x）取得极大值

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，
∴

f(- 2 2 )= 2 3 f′(- 2 2 )=0

，解得a=

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或-1，
∴f （x）=

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x³-x或f（x）=2x²-1
（2）解：设所求两点的横坐标为x₁、x₂ （x₁＜x₂），则（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1
又∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴2x₁²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]
∴2x₁²-1，2x₂²-1中有一个为1，一个为-1，
∴

x1=0 x2=1

或 

x1=-1 x2=0

，
∴所求的两点为（0，0）与（1，-

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）或（0，0）与（-1，

1

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）．
（3）证明：易知sin x∈[-1，1]，cos x∈[-1，1]．
当0＜x＜

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时，f′（x）＜0；当

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＜x＜1时，f′（x）＞0．
∴f （x）在[0，

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]为减函数，在[

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，1]上为增函数，
又f （0）=0，f （

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）=-

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，f （1）=-

1

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，而f （x）在[-1，1]上为奇函数，
∴f （x）在[-1，1]上最大值为

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，最小值为-

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，即|f （x）|≤

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，
∴|f （sin x）|≤

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，|f （cos x）|≤

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，
∴|f （sin x）-f （cos x）|≤|f （sin x）|+|f （cos x）|≤

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点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式、不等式的证明、利用导数研究函数的单调性，属于中档题．