Question

设y=f（x）由方程y-x=e^x（1-y）所确定，求

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：导数的综合应用

分析：根据y=f（x）满足方程y-x=e^x（1-y），求出y=f（0）的值，再对方程两边求导，求出f′（0）的值；利用洛必塔法则计算

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]即可．

解答： 解：∵y=f（x）满足方程y-x=e^x（1-y），
∴当x=0时，y=f（0）=e⁰=1；
对方程两边求导，得；
f′（x）-1=e^x（1-y）•（1-y-xf′（x）），
当x=0时，f′（0）=1•（1-1-0）=0；
当x＞0时，∵n→+∞时，

1

n

→0，
∴f（

1

n

）=1，∴f（

1

n

）-1=0，
∴可运用洛必塔法则计算

lim

n→∞

n[f（

1

n

）-1]
=

lim

n→∞

f( 1 n )-1

1 n

=

lim

n→∞

-1 n2 •f′( 1 n )

-1 n2

=

lim

n→∞

f′（

1

n

）
=0．

点评：本题考查了导数的综合运用问题，解题时应根据高等数列的知识，利用洛必塔法进行计算，是难题．