Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n+1（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据a_n与S_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=

1

anan+1

的通项公式，利用裂项法即可求数列b_n的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=n²+2n+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
当n=1时，a₁═S₁=1+2+1=4，
数列{a_n}的通项公式a_n=

4， n=1 2n+1， n≥2

；
（2）令b_n=

1

anan+1

，则b₁=

1

a1a2

=

1

4×5

，
当n≥2时，求b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
则数列b_n的前n项和T_n=

1

4×5

+

1

2

（

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）=

1

20

+

1

2

（

1

5

-

1

2n+3

）=

1

20

+

1

2

×

1

5

-

1

2n+3

×

1

2

=

3

20

-

1

4n+6

．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键，考查学生的运算能力．