Question

已知数列{a_n}是以公比为q的等比数列，S_n（n∈N^*）是其前n项和，且S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）求证：a₂，a₈，a₅也成等差数列；
（2）判断以a₂，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{a_n}中的项？若是，求出这一项；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：首先将给出的项、和都用等比数列的首项、公比表示出来，然后进行化简，然后利用等差数列的定义构造等量关系和证明要证的结论；第二问是一个探究性问题，一般先假设结论成立，然后以此为条件结合已知条件进行推导，若推导出结果成立则结论成立，若推出矛盾，则结论不成立．

解答： 解：（Ⅰ）证明：当q=1时，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，而a₁≠0，
∴S₃，S₉，S₆不可能是等差数列，故q≠1．
当q≠1时，∵S₃，S₉，S₆成等差数列，
∴2S₉=S₃+S₆，又Sn=

a1(1-qn)

1-q

，
∴2

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
化简得2q⁷=q+q⁴，所以2a1q7=a1q+a1q4，
∴2a₈=a₂+a₅，故a₂、a₈、a₅成等差数列．
（Ⅱ）由2q⁶=1+q³得q³=1（舍）或q³=-

1

2

，
要使以a₂，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项是数列{a_n}中的项且为第k项，
则必有a_k-a₅=a₅-a₈，即2a₅=a₈+a_k，
两边同除以a₂，得2q³=q^k-2+q⁶，
将q³=-

1

2

代入，解得q^k-2=-

5

4

，
又∵（q³）^k-2=（-

1

2

）^k-2，即（q^k-2）³=（-

1

2

）^k-2，
∴(-

1

2

)k-2=(-

5

4

)3，
由于k是正整数，所以(-

1

2

)k-2=(-

5

4

)3不可能成立，
∴以a₂，a₈，a₅为前三项的等差数列的第四项不可能是数列{a_n}中的项．

点评：对于等差、等比数列问题，一般是用基本量首项、公差（比）借助通项公式、求和公式把已知条件和结论表示出来，然后进行化简，再寻找条件与结论之间的关系进行推理、证明与计算，要注意定义、性质的应用；探究性问题一般是先假设结论成立，构造方程或不等式，只要是有符合的解，则结论成立，否则不成立．