Question

已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，

1

2

），函数f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T及单调递增区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,利用导数研究函数的单调性,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）代入向量运算，运用倍角及两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=

2π

|ω|

求周期，根据正弦函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数y=f（x）-t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有零点，只要t在函数f（x）的值域中取值即可，转化成求函数f（x）值域问题．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+1+

3

2

sin2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2
=sin（2x-

π

6

）+2；
因为ω=2，所以T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）
所以函数f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∴

5

2

≤f(x)≤3，
∵方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴

5

2

≤t≤3，
∴实数t的取值范围是[

5

2

，3]．

点评：本题考查了向量的运算、三角恒等变换及三角函数的图象与性质，解决本题的关键是利用三角公式把函数化成正弦型函数的标准形式．第（Ⅱ）关键是把函数的零点问题转化成求函数的值域问题．