Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的两个焦点，点P在双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求证：PF₁⊥PF₂．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，由双曲线的定义和勾股定理的逆定理，即可得证．

解答： 证明：双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的a=3，b=4，c=

9+16

=5，
由双曲线的定义可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
又|PF₁|•|PF₂|=32，
则（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=36，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=36+2×32=100，
|F₁F₂|=2c=10，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
由勾股定理的逆定理可得，PF₁⊥PF₂．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查勾股定理的逆定理，考查运算能力，属于基础题．