Question

已知定义在R上的函数f（x）=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）用定义证明f（x）在R上是减函数；
（3）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的性质得f（-x）+f（x）=0恒成立，代入解析式利用指数的运算化简，求出a的值；
（2）根据函数单调性的定义进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论；
（3）根据奇函数的性质将不等式转化为：f（log_m

3

4

）＞f（1），再由函数的单调性得log_m

3

4

＜1，利用对数的单调性对m进行分类讨论，再求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由于f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0对于任意的x∈R都成立，
即

-2-x+a

2-x+1

+

-2x+a

2x+1

=0，则

-1+a•2x

2x+1

+

-2x+a

2x+1

=0…（2分）
可得-1+a•2^x-2^x+a=0，即（a-1）（2^x+1）=0…（3分）
因为2^x＞0，则a-1=0，解得a=1…（4分）
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=

-2x2+1

2x2+1

-

-2x1+1

2x1+1

=

(-2x2+1)(2x1+1)-(-2x1+1)(2x2+1)

(2x2+1)(2x1+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

…（6分），
因为x₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
从而f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）…（7分）
所以f（x）在R上是减函数…（8分）
（3）由f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0可得：f（log_m

3

4

）＞-f（-1）…（9分）
因为f（x）是奇函数，所以f（log_m

3

4

）＞f（1），
又因为f（x）在R上是减函数，所以log_m

3

4

＜1…（10分）
①当m＞1时，不等式成立；
②当0＜m＜1时，解得0＜m＜

3

4

；
综上可得，0＜m＜

3

4

，或m＞1…（11分）
故m的取值范围是（0，

3

4

）∪（1，+∞）…（12分）

点评：本题考查函数奇偶性的应用，函数单调性定义的证明步骤：取值-作差-变形-判断符号-下结论，对数函数的性质，以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题，属于中档题．