Question

对于数列{a_n}，有a₀=1，a_i∈[0，

π

2

]，tana_n=

1+tan2an-1 -1

tanan-1

，求a₁₀₀．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：由数列递推式结合同角三角函数的基本关系式得到an=

1

2

an-1，再由已知a₀=1求得a₁，则a₁₀₀可求．

解答： 解：tana_n=

1+tan2an-1 -1

tanan-1

=

sec2an-1 -1

tanan-1

=

1 cosan-1 -1

tanan-1

=

1-cosan-1 cosan-1

sinan-1 cosan-1

=

1-cosan-1

sinan-1

=tan

an-1

2

．
∵a_i∈[0，

π

2

]，∴an=

1

2

an-1．
a₀=1，a1=

1

2

，
则a₁₀₀=(

1

2

)100．

点评：本题考查了数列与三角的综合，考查了同角三角函数的基本关系式，考查了等比数列的通项公式，是中档题．