题目内容
已知椭圆C：
+
=1（0＜b＜
），其通径（过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段）长
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆C右焦点的直线（不与X轴重合）与椭圆交于A，B两点，且点M（
，0），判断
•
能否为常数？若能，求出该常数，若不能，说明理由．
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆C右焦点的直线（不与X轴重合）与椭圆交于A，B两点，且点M（
| 4 |
| 3 |
| MA |
| MB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）把x=c=
代入椭圆C：
+
=1，可得y=±
．由题意可得
=
，解得b2，即可得出．
（2）当直线与x轴垂直时，
•
=-
，当直线与x轴不垂直时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的方程为：y=k（x-1），与椭圆方程联立可得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0．利用根与系数的关系及其数量积运算即可得出．
| 3-b2 |
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| b2 |
| b2 | ||
|
| 2b2 | ||
|
4
| ||
| 3 |
（2）当直线与x轴垂直时，
| MA |
| MB |
| 11 |
| 9 |
解答：
解：（1）把x=c=
代入椭圆C：
+
=1，可得y=±
．
∴
=
，解得b2=2．
∴椭圆C的方程为：
+
=1．
（2）当直线与x轴垂直时，
•
=-
，
当直线与x轴不垂直时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线的方程为：y=k（x-1），
代入
+
=1，
得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴
•
=(x1-
，y1)•(x2-
，y2)=(x1-
)(x2-
)+y1y2
=x1x2-
(x1+x2)+
+k2（x1-1）（x2-1）
=（1+k2）x1x2-(
+k2)(x1+x2)+
+k2
=(1+k2)
-(
+k2)
+
+k2=-
．
综上可得：
•
为常数-
．
| 3-b2 |
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| b2 |
| b2 | ||
|
∴
| 2b2 | ||
|
4
| ||
| 3 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
（2）当直线与x轴垂直时，
| MA |
| MB |
| 11 |
| 9 |
当直线与x轴不垂直时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线的方程为：y=k（x-1），
代入
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 2 |
得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0．
∴x1+x2=
| 6k2 |
| 2+3k2 |
| 3k2-6 |
| 2+3k2 |
∴
| MA |
| MB |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
=x1x2-
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
=（1+k2）x1x2-(
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
=(1+k2)
| 3k2-6 |
| 2+3k2 |
| 4 |
| 3 |
| 6k2 |
| 2+3k2 |
| 16 |
| 9 |
| 11 |
| 9 |
综上可得：
| MA |
| MB |
| 11 |
| 9 |
点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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