Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x，
（1）求f（-2）；
（2）求出函数f（x）在R上的解析式；
（3）在坐标系中画出函数f（x）的图象．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意f（-2）=-f（2），问题可解；
（2）先求出x≤0时的解析式，然后即可得到函数在定义域上的解析式（分段函数）；
（3）根据二次函数图象的画法求解．

解答： 解：（1）由于函数是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
因此对任意的x都有f（-x）=-f（x）
∴f（-2）=-f（2），而f（2）=2²-2×2=0，∴f（-2）=0；
（2）①由于函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0；
②当x＜0时，-x＞0，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-2（-x）]=-x²-2x．
综上：f（x）=

x2-2x，x＞0 -x2-2x，(x≤0)

；
（3）图象如下图：

点评：本题考查了函数的奇偶性以及二次函数图象的画法，属于基础题，难度不大．