Question

设函数f（x）=[sin（x+

π

6

）+cosx]•sinx．
（1）求该函数图象的对称轴方程；
（2）设△ABC的三内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=

3 3

4

，

AC

•

BC

=

b2

2

，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

3

4

，由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解得函数图象的对称轴方程．
（2）由已知可解得sin（2A-

π

6

）=1，从而可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z，由0＜A＜π，可解得A=

π

3

，由

AC

•

BC

=

b2

2

，可得cosC=

a

2b

，由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，从而

a

2b

=

a2+b2-c2

2ab

，可解得b=c=a．

解答： 解：（1）∵f（x）=[sin（x+

π

6

）+cosx]•sinx=

3

2

sin²x+

3

4

sin2x=

3

2

sin（2x-

π

6

）+

3

4

．
∴由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
∴函数图象的对称轴方程是：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z．
（2）∵f（A）=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

=

3 3

4

，
∴可解得：sin（2A-

π

6

）=1，从而有：2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴可解得：A=kπ+

π

3

，k∈Z
∵0＜A＜π，
∴可解得：A=

π

3

，
∵

AC

•

BC

=

b2

2

，
∴可得：2abcosC=b²，
∴有：cosC=

a

2b

，由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

a

2b

=

a2+b2-c2

2ab

，可解得：b²=c²，
∴b=c=a．
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量数量积的运算，余弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．