题目内容
求函数f（x）=tan2x+2atanx+5在x∈[
，
]时的值域．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：复合三角函数的单调性
专题：函数的性质及应用,三角函数的求值
分析：首先通过恒等变换，把函数变形成标准的二次函数，进一步对参数a的范围和函数的定义域比较来进行分类讨论，最后求出结果．
解答：
解：函数f（x）=tan2x+2atanx+5=（tanx+a）2-a2+5
所以函数为以-a为对称轴，开口方向向上的抛物线．
由于x∈[
，
]
所以：tanx∈[1，+∞）
①当-a≤1时，即a≥-1在tanx=1处取得最小值，
所以函数的最小值为：ymin=6+2a
②当-a＞1时，即a＜-1在tanx=-a处取得最小值，
所以函数的最小值为：ymin=5-a2
综上所述①当a≥-1在tanx=1处取得最小值，函数的值域为：y∈[6+2a，+∞）
②当a＜-1在tanx=-a处取得最小值，函数的值域为：y∈[5-a2，+∞）
所以函数为以-a为对称轴，开口方向向上的抛物线．
由于x∈[
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所以：tanx∈[1，+∞）
①当-a≤1时，即a≥-1在tanx=1处取得最小值，
所以函数的最小值为：ymin=6+2a
②当-a＞1时，即a＜-1在tanx=-a处取得最小值，
所以函数的最小值为：ymin=5-a2
综上所述①当a≥-1在tanx=1处取得最小值，函数的值域为：y∈[6+2a，+∞）
②当a＜-1在tanx=-a处取得最小值，函数的值域为：y∈[5-a2，+∞）
点评：本题考查的知识要点：复合函数的值域问题的应用，分类讨论思想的应用，属于基础题型．
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A、
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B、
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C、
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D、
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