Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=ax-lnx，
（Ⅰ）若函数f（x）+g（x）在[2，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：e²x＞

5

2

+（1+

1

x

）lnx．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），则h（x）=x²+ax-lnx，从而h/(x)=2x+a-

1

x

在[2，3]上恒成立，即a≤

1

x

-2x，在[2，3]上恒成立，进而

1

x

-2x的最小值为-

17

3

a≤-

17

3

．
（Ⅱ）假设存在实数a，使g（x）有最小值是3，因此g/(x)=a-

1

x

，x∈（0，e]，通过讨论a的范围来解决问题；
（Ⅲ）由e²x＞

5

2

+（1+

1

x

）lnx得e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，只需证

5

2

+

lnx

x

＜3即可，令p（x）=

5

2

+

lnx

x

，则p（x）=

1-lnx

x2

在（0，e]上单调递增，故e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，问题得证．

解答： 解：（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），
则h（x）=x²+ax-lnx，
∴h/(x)=2x+a-

1

x

，
∵f（x）+g（x）在[2，3]上是减函数，
∴h/(x)=2x+a-

1

x

≤0，在[2，3]上恒成立，
即a≤

1

x

-2x，在[2，3]上恒成立．
而a≤

1

x

-2x，在[2，3]上是减函数，
∴

1

x

-2x的最小值为-

17

3

a≤-

17

3

．
（Ⅱ）假设存在实数a，使g（x）有最小值是3，
∵g/(x)=a-

1

x

，x∈（0，e]
若a≤0，则g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e]上为减函数，
g（x）的最小值为g（e）=ae-1=3
∴a=

4

e

与a≤0矛盾，
若a＞0时，令a-

1

x

=0，则x=

1

a

当0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，
g（x）在(0，

1

a

)上单调递减，在(

1

a

，e)上单调递增，
g(x)min=g(

1

a

)=1+lna=3，解得a=e²，
当

1

a

≥e，即a≤

1

e

时，g（x）在（0，e]上单调递减，
g（x）_min=g（e）=ae-1=3
∴a=

4

e

与a≤

1

e

矛盾，
（Ⅲ）∵x∈（0，e]，由e²x＞

5

2

+（1+

1

x

）lnx得e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，
由（Ⅱ）得：e²x-lnx的最小值为3，只需证

5

2

+

lnx

x

＜3即可，
令p（x）=

5

2

+

lnx

x

，则p（x）=

1-lnx

x2

在（0，e]上单调递增，
∴p（x）的最大值为p（e）=

5

2

+

1

e

＜

5

2

+

1

2

=3，
故e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，
即e²x＞

5

2

+（1+

1

x

）lnx．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，求参数的范围，不等式的证明，是一道综合题．