Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为2，公差为3的等差数列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是首项为2，公比为2的等比数列（其中m≥3，m∈N^*），并对任意的n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=14时，求a₁₀₀₀；
（2）若a₅₂=128，试求m的值．
（3）求满足条件a_n=128的所有n的值（用m表示）．

Answer 1

考点：数列的应用,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当m=1时，数列的周期为28，于是a₁₀₀₀=a₂₀，依题意可求得a₁₀₀₀；
（2）设a_m+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m+k=2^k，于是128=2⁷，即m≥7，则一个周期中至少有14项，a₅₂最多是第三个周期中的项．对a₅₂是第一个周期中的项、第二个周期中的项、第三个周期中的项，分别讨论计算即可求得m的值；
（3）由a_n=3n-1=128，得n=43，由a_m+n=128，n=7，分类讨论，即可求满足条件a_n=128的所有n的值

解答： 解：由题设得：a_n=3n-1，（1≤n≤m），a_m+n=2ⁿ（1≤n≤m），------------（2分）
（1）m=14时，数列的周期为28．
∵1000=28×35+20，而a₂₀是等比数列中的项，
∴a₁₀₀₀=a₂₀=a₁₄₊₆=2⁶=64．--------------------------------------------------（4分）
（2）显然，a₅₂=128不是数列{a_n}中等差数列的项．
设a_m+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m+k=2^k．
∵128=2⁷，∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
∴a₅₂最多是第三个周期中的项．
若a₅₂是第一个周期中的项，则a₅₂=a_m+7=128．
∴m=52-7=45；---------------（6分）
若a₅₂是第二个周期中的项，则a₅₂=a_3m+7=128．∴3m=45，m=15；---------------（8分）
若a₅₂是第三个周期中的项，则a₅₂=a_5m+7=128．∴5m=45，m=9；
综上，m=45，或15，或9．----------------------（10分）
（3）由a_n=3n-1=128，得n=43，由a_m+n=128，n=7．
当1≤m≤6时，不存在n使a_n=128，-------------------------（12分）
当7≤m≤42时，数列中成等差数列的项中不存在128的项，等比数列中，a_m+7=128．
∴满足条件的n=（2k+1）m+7，k∈N．------------------------------（14分）
当m≥43时，第一周期中，a₄₃=128，a_m+7=128，
∴满足条件的n=43+2km，或n=（2k+1）m+7，k∈N．------------（16分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的函数特性，考查其周期性、单调性与最值，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．