题目内容

设x，y，z都是正实数，a=x+
2
y
，b=y+
2
z
，c=z+
2
x
．
求证：a，b，c三数中至少有一个不小于2
2
．
考点：反证法与放缩法,不等式的证明
专题：证明题,反证法
分析：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，可得结论．
解答： 证明：假设a，b，c三数都小于2
2
，则a+b+c＜2
2

∵x，y，z都是正实数，
∴a+b+c=x+
2
y
+y+
2
z
+z+
2
x
≥2
2
+2
2
+2
2
=6
2
，
与a+b+c＜2
2
矛盾．
∴a，b，c三数中至少有一个不小于2
2
．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的极坐标方程是p（cosθ+
3
sinθ）=2，曲线C的参数方程是
x=3cosα
y=3sinα
（θ为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
已知函数f（x）=x2，g（x）=ax-lnx，
（Ⅰ）若函数f（x）+g（x）在[2，3]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：e2x＞
5
2
+（1+
1
x
）lnx．
已知
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（sin
x
2
，0），f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象平移
2π
3
个单位（可向上、下、左、右平移，且仅可选择一种方向平移一次）得到g（x），求h（x）=f（x）g（x）的最小值．
如图，离心率为
2
2
的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与直线l：x=-2相切于点A（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OA是圆C的直径，P（x0，y0）（x0＞0）为椭圆上的动点，过P作圆C的两条切线，分别交直线l于点M、N，求当
PM
•
PN
取得最小值时P点的横坐标x0．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nSn+1-（n+1）Sn=
n2+n
2
（n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
an+3
2an+1•an3
，证明：当n≥2时，b1+b2+b3+…+bn＜
9
8
．
已知直线y=kx与圆N：x2+y2-2x-2y+1=0交于P、Q，且M（0，b），
MP
•
MQ
=0，问是否存在k使得M，N，P，Q4点共圆？若存在，求出k值；若不存在，说明理由．
已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[
1
2
，1]上的最小值．
曲线
x2
25λ
-
y2
16λ
=1（λ≠0）的渐近线方程为
 
．

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