Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=4，且（a²+c²-b²）tanB=

3

ac，则△ABC面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：已知等式变形后，利用余弦定理化简，求出sinB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：由于（a²+c²-b²）tanB=

3

ac，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

tanB

•

1

2ac

，
即有cosBtanB=

3

2

，即sinB=

3

2

，
由于B为锐角，则B=

π

3

，
由余弦定理得：16=b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．