Question

已知集合M=|（x，y）|y=f（x）|，若对任意P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M为“好集合”，给出下列五个集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

 }；  
②M={（x，y）|y=lnx}；  
③M={（x，y）|y=

1

4

 x²+1}；
④M={（x，y）|（x-2）²+y²=1}；
其中所有“好集合”的序号是

 

．（写出所有正确答案的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于①，利用x1x2+

1

x1x2

=0无实数解，判断其正误即可；对于②③，取一个特殊点即能说明不满足“好集合”定义；
画图后求出过原点的圆的两条切线方程，说明集合中任取一点，P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立．

解答： 解：对于①，x1x2+

1

x1x2

=0无实数解，因此①是“好集合”； 
对于②，取点（

1

e

，-1），存在点（e，1）∈M，使得

1

e

•e+(-1)•1=0，因此②不是“好集合”； 
对于③，取点（-2，2），存在点（2，2）∈M，使得-2×2+2×2=0，因此③不是“好集合”； 
对于④，集合M中点的轨迹为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，如图，

设过原点的一条切线方程为kx-y=0，由（2，0）到切线的距离等于1得：

|2k|

k2+1

=1，解得：k=±

3

3

．
∴集合M中两点间的最大夹角为

π

3

，即在集合中任取一点，P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此①是“好集合”．
故答案为：①④．

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．