Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（1）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（2）设A_n=

a1+a2+…+an

n

若A_n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：第6年初仍可对M继续使用．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≤6时，a_n=120-10（n-1）=130-10n，当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，
又a₆=70，由此能求出第n年初M的价值a_n的表达式．
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n，由此能求出第6年初仍可对M继续使用．

解答： 解：（1）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列．
a_n=120-10（n-1）=130-10n，
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为

3

4

的等比数列，
又a₆=70，所以a_n=70×（

3

4

）^n-6，
因此，第n年初M的价值a_n的表达式为a_n=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，
由等差数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），
A_n=120-5（n-1）=125-5n，
A₆=125-5×6=95＞80，
所以，第6年初仍可对M继续使用．

点评：本题考查数列有生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．