题目内容
如图所示四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为正方形，AE⊥平面CDB，且AR=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求四棱锥E-ABCD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得AB⊥CD，CD⊥AD，由此能证明AB⊥平面ADB．
（2）过点E作EF⊥AD于F，过点B作BF⊥AD于点F，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．
（2）过点E作EF⊥AD于F，过点B作BF⊥AD于点F，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．
解答：
（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDB，
∴AB⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AB=A，∴CD⊥平面ADB，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADB．
（2）解：在Rt△ADB中，AB=3，AD=6，
∴DE=
=3
，
过点E作EF⊥AD于F，
∵DE=
=3
，过点B作BF⊥AD于点F，
∵AB⊥平面ADB，EF?平面ADE，∴EF⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=
=
=
，
又正方形ABCD的面积SABCD=36，
∴四棱锥E-ABCD的体积V=
SABCD×EF=
×36×
=18
．
∴AB⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AB=A，∴CD⊥平面ADB，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADB．
（2）解：在Rt△ADB中，AB=3，AD=6，
∴DE=
| AD2-AB2 |
| 3 |
过点E作EF⊥AD于F，
∵DE=
| AD2-AB2 |
| 3 |
∵AB⊥平面ADB，EF?平面ADE，∴EF⊥AB，
∵AD∩AB=A，∴EF⊥平面ABCD，
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=
| AE•DE |
| AD |
3×3
| ||
| 6 |
3
| ||
| 2 |
又正方形ABCD的面积SABCD=36，
∴四棱锥E-ABCD的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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