Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
（2）若函数g（x）=f（x）-（a²-3）x+1（a＞0）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离出参数a后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性可求得最值；
（2）利用导数可求得函数的极大值、极小值，且极大值大于0，由题意可知只需极小值大于等于0．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x²-2ax-3≥0即2a≤3x-

3

x

在[1，+∞）上恒成立，
而y=3x-

3

x

在[1，+∞）上单调递增，
∴3x-

3

x

≥3-3=0，
∴a≤0；
（2）g（x）=f（x）-（a²-3）x+1=x³-ax²-a²x+1，
g′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
当x＜-

a

3

或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）递增；当-

a

3

＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）递减．
∴x=-

a

3

时g（x）取得极大值，x=a时g（x）取得极小值．
g（-

a

3

）=

5

27

a3+1＞0，g（a）=-a³+1，
∵g（x）=f（x）-（a²-3）x+1（a＞0）至多有两个零点，
∴-a³+1≥0，解得0＜a≤1．
∴实数a的取值范围是（0，1]．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值及函数的零点问题，考查转化思想．