题目内容
已知函数f（x）=2sin（2x+
）+1
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=t（t＞0）对称，求t的最小值；
（2）若存在x0∈[-
，
]，使得mf（x0）-2=0成立，求实数m的取值范围；
（3）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．
| π |
| 3 |
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=t（t＞0）对称，求t的最小值；
（2）若存在x0∈[-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
（3）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．
考点：正弦函数的单调性,根的存在性及根的个数判断,正弦函数的定义域和值域
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）令2x+
=kπ+
解得x可得所有的对称轴，结合条件可得t的最小值；（2）由x0的范围可得f（x0）的范围，进而可得m的不等式，解不等式可得；（3）由题意可得x=kπ-
或x=
，k∈Z，即f（x）的零点间依次为
和
，可得b-a的最小值为2×
+3×
，计算可得．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）令2x+
=kπ+
可得x=
+
，k∈Z，
∴函数y=f（x）的图象的对称轴为x=
+
，k∈Z，
取k=0可得t的最小值为
；
（2）当x0∈[-
，
]时，2x0+
∈[
，
]，
∴sin（2x0+
）∈[
，1]，∴f（x0）∈[2，3]
要使mf（x0）-2=0成立，只需f（x0）=
，即
∈[2，3]
解得m∈[
，1]；
（3）由f（x）=2sin（2x+
）+1=0可得sin（2x+
）=-
，
∴2x+
=2kπ-
，或2x+
=2kπ-
，
解得x=kπ-
或x=
，k∈Z，
即f（x）的零点间依次为
和
，
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
结合图象可知b-a≥2T+
=
．
∴b-a的最小值为
．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴函数y=f（x）的图象的对称轴为x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
取k=0可得t的最小值为
| π |
| 12 |
（2）当x0∈[-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴sin（2x0+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
要使mf（x0）-2=0成立，只需f（x0）=
| 2 |
| m |
| 2 |
| m |
解得m∈[
| 2 |
| 3 |
（3）由f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
解得x=kπ-
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
即f（x）的零点间依次为
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
要使y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
结合图象可知b-a≥2T+
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
∴b-a的最小值为
| 7π |
| 3 |
点评：本题考查三角函数的性质和图象，涉及根的个数的判断，属中档题．
练习册系列答案
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已知一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）
| A、24π | B、42π |
| C、38π | D、39π |
