Question

已知点Q（-

6

，1），边长为4的正方形内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点．
（1）当椭圆的右准线为x=2

6

时，求椭圆的方程；
（2）当椭圆的离心率为多大时，双曲线

x2

a2

-

y2

16b2

=1的焦距最小？并求出此最小焦距．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于边长为4的正方形内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得点（2，2）在椭圆上，

4

a2

+

4

b2

=1．
由椭圆的右准线为x=2

6

=

a2

c

，及a²=b²+c²，联立解得即可．
（2）由（1）可知：

4

a2

+

4

b2

=1．可得

b2

a2

=

1

4

b2-1．椭圆的离心率e=

1- b2 a2

=

2- 1 4 b2

．
双曲线

x2

a2

-

y2

16b2

=1的焦距=2

a2+16b2

=2

b2( a2 b2 +16)

=2

b2( 4 b2-4 +16)

=4

4(b2-4+ 1 b2-4 )+17

，利用基本不等式的性质就看得出．

解答： 解：（1）∵边长为4的正方形内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴点（2，2）在椭圆上，∴

4

a2

+

4

b2

=1．
∵椭圆的右准线为x=2

6

=

a2

c

，又a²=b²+c²，
联立解得c=

6

，a²=12，b²=6．或c=

4 6

3

，a²=16，b²=

16

3

．
∴椭圆的方程为

x2

12

+

y2

6

=1或

x2

16

+

3y2

16

=1．
（2）由（1）可知：

4

a2

+

4

b2

=1．可得

b2

a2

=

1

4

b2-1．
e=

1- b2 a2

=

2- 1 4 b2

∵双曲线

x2

a2

-

y2

16b2

=1的焦距=2

a2+16b2

=2

b2( a2 b2 +16)

=2

b2( 4 b2-4 +16)

=4

4(b2-4+ 1 b2-4 )+17

≥4

4×2 (b2-4)• 1 b2-4 +17

=20，当且仅当b²=5取等号，双曲线的最小焦距为20．
椭圆的离心率e=

2- 5 4

=

3

2

．
∴当椭圆的离心率为

3

2

时，双曲线

x2

a2

-

y2

16b2

=1的焦距最小，最小焦距为20．

点评：本题考查椭圆方程的求法，椭圆性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．