Question

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．

寿命（天）	频数	频率
[100，200）	20	0.10
[200，300）	30	a
[300，400）	70	0.35
[400，500）	b	0.15
[500，600）	50	0.25
合计	200	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N^*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用频率分布表中的数据直接计算能求出a、b的值．
（Ⅱ）由频率分布表知按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N^*）个，由此能求出n的最小值．
（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）a=1-0.10-0.35-0.15-0.25=0.15，
b=200-20-30-70-50=30．…（2分）
（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．…（4分）
∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值为4．…（6分）
（Ⅲ）X的所有取值为0，1，2，3．…（7分）
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，…（8分）
从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，
∴P(X=0)=

C

0 3

×(1-

1

4

)3=

27

64

，
P(X=1)=

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

27

64

，
P(X=2)=

C

2 3

×(

1

4

)2(1-

1

4

)1=

9

64

，
P(X=3)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

．…（11分）
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（12分）
∴X的数学期望E(X)=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．
…（13分）
（注：写出X～B(3，

1

4

)，P(X=k)=

C

k 3

(

1

4

)k(1-

1

4

)3-k，k=0，1，2，3．请酌情给分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．