Question

已知直线：y=x+b和圆x²+y²+2x-2y+1=0．
（1）若直线和圆相切，求直线的方程；
（2）若b=1，求直线和圆相交的弦长．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）把圆的方程化成标准形式，利用直线y=x+b与圆相切，圆心到直线的距离应该等于1，即可求直线的方程；
（2）若b=1，求出圆心到直线x-y+1=0的距离，再利用勾股定理，即可求直线和圆相交的弦长．

解答： 解：（1）先把圆的方程化成标准形式：（x+1）²+（y-1）²=1 从而圆心为（-1，1），半径为1．
∵直线y=x+b与圆相切，∴圆心到直线的距离应该等于1．
把直线的方程化成 x-y+b=0，
从而

|-1-1+b|

2

=1，
即b=2±

2

，代回原方程便有y=x+2±

2

；
（2）圆心到直线x-y+1=0的距离d=

|-1-1+1|

2

=

1

2

，
∴直线和圆相交的弦长为2

1- 1 2

=

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．