Question

11．已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R），
（1）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程是y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得f（-1）=2，f（1）=-2，f′（1）=0，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，可得极值点和极值，求出区间[-3，2]处端点的函数值，比较可得最值，由|f（x₁）-f（x₂）|≤t恒成立，可得t≥f_max（x）-f_min（x），可得t的最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）过点（-1，2），
∴f（-1）=-a+b-c=2，
又f′（x）=3ax²+2bx+c，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y+2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-2\\{f^'}（（1）=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=-2\\ 3a+2b+c=0\end{array}\right.$，解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0解得x=±1，
∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在区间[-3，2]上f_max（x）=2，f_min（x）=-18，
∴对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=20，
∴t≥20，
所以t的最小值是20．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和函数的极值以及最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．