Question

1．在二项式（x²+$\frac{1}{x}}$）⁵的展开式中，含x项的系数是a，则${∫}_{1}^{a}$x^-1dx=ln10．

Answer 1

分析 根据二项式${（{{x^2}+\frac{1}{x}}）^5}$的展开式中，含x项的系数是a，求出a的值．根据定积分公式求解定积分即可．

解答 解：二项式为${（{{x^2}+\frac{1}{x}}）^5}$，
由通项公式可得：T_r+1=${C}_{5}^{r}（{x}^{-1}）^{r}（{x}^{2}）^{5-r}$，
∵含x项，
∴r=3，
∴含x项的系数为${C}_{5}^{3}（1）^{3}$=10．
即a=10．
那么$\int_a^{10}{\;}{x^{-1}}dx$=${∫}_{10}^{10}{x}^{-1}{d}_{x}$=lnx|$\left.\begin{array}{l}{10}\\{1}\end{array}\right.$=ln10．
故答案为：ln10．

点评 本题主要考查二项式定理通项公式的应用，和定积分的计算．属于基础题．