Question

1．已知椭圆的两个焦点为${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，${F_2}（\sqrt{5}，0）$是椭圆上一点，若$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}=0$，$|\overrightarrow{M{F_1}}|•|\overrightarrow{M{F_2}}|=8$．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过右焦点${F_2}（\sqrt{5}，0）$（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x₀，0），使得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c=$\sqrt{5}$，b²=a²-c²=4，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线l：x=my+$\sqrt{5}$，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t   则（4x₀²-36）m²+9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29=t（4m²+9），比较系数，即可求得x₀=$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，在x轴上存在一个定点P（$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，0），使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值为定值（-$\frac{124}{81}$）；
方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-$\sqrt{5}$），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t   则（9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29）k²+4x₀²-36=t（4+9k²），9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29=9 t且4x₀²-36=4t，即可求得x₀=$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，此时t的值为-$\frac{124}{81}$．

解答 解：（1）由题意椭圆的焦点在x轴上，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
c=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|²=（2c）²=20，|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=8
∴（|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|）²=|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|²+2|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=36     解得：|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=6，
2a=6，则a=3    b²=a²-c²=4
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）解法一：设直线l的方程为：x=my+$\sqrt{5}$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，并消元整理得：（4m²+9）x²-18$\sqrt{5}$x+45-36m²=0，…①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则是方程①的两个解，由韦达定理得：
x₁+x₂=$\frac{18\sqrt{5}}{4{m}^{2}+9}$，x₁x₂=$\frac{45-36{m}^{2}}{4{m}^{2}+9}$，y₁y₂=$\frac{1}{{m}^{2}}$（x₁-$\sqrt{5}$）（x₂-$\sqrt{5}$）=$\frac{1}{{m}^{2}}$（ x₁x₂-$\sqrt{5}$（x₁+x₂）+5）=-$\frac{16}{4{m}^{2}+9}$，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-x₀，y₁）•（x₂-x₀，y₂）=（ x₁-x₀）（ x₂-x₀）+y₁y₂=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+y₁y₂
=$\frac{45-36{m}^{2}}{4{m}^{2}+9}$-$\frac{18\sqrt{5}}{4{m}^{2}+9}$×x₀+x₀²+（-$\frac{16}{4{m}^{2}+9}$）=$\frac{（4{x}_{0}^{2}-36）{m}^{2}+9{x}_{0}^{2}-18\sqrt{5}{x}_{0}+29}{4{m}^{2}+9}$，
令$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t   则（4x₀²-36）m²+9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29=t（4m²+9），
比较系数得：4x₀²-36=4t且9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29=9t  消去t得：36x₀²-36×9=36x₀²-72$\sqrt{5}$x₀+29×4   解得：x₀=$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，
∴在x轴上存在一个定点P（$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，0），使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值为定值（-$\frac{124}{81}$）；
解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x-$\sqrt{5}$），代入椭圆方程并消元整理得：
（9k²+4）x²-18$\sqrt{5}$k²x+45k²-36=0…①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则是方程①的两个解，由韦达定理得：
x₁+x₂=$\frac{18\sqrt{5}{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{45{k}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
 y₁y₂=k²（x₁-$\sqrt{5}$）（x₂-$\sqrt{5}$）=k²（ x₁x₂-$\sqrt{5}$（x₁+x₂）+5）=-$\frac{16{k}^{2}}{4+9{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-x₀，y₁）•（x₂-x₀，y₂）=（ x₁-x₀）（ x₂-x₀）+y₁y₂=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+y₁y₂，
=$\frac{（9{x}_{0}^{2}-18\sqrt{5}{x}_{0}+29）{k}^{2}+4{x}_{0}^{2}-36}{4+9{k}^{2}}$，
令$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=t   则（9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29）k²+4x₀²-36=t（4+9k²），
9x₀²-18$\sqrt{5}$x₀+29=9 t且   4x₀²-36=4t，
解得：x₀=$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，此时t的值为-$\frac{124}{81}$，
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=$\sqrt{5}$，代入椭圆方程解得：A（$\sqrt{5}$，-$\frac{4}{3}$），B（$\sqrt{5}$，$\frac{4}{3}$），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{2}{9}\sqrt{5}$，-$\frac{4}{3}$）•（-$\frac{2}{9}\sqrt{5}$，$\frac{4}{3}$）=$\frac{20}{81}$-$\frac{16}{9}$=-$\frac{124}{81}$，
∴当直线l与x轴垂直时，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$也为定值-$\frac{124}{81}$，
综上，在x轴上存在一个定点P（$\frac{11}{9}\sqrt{5}$，0），使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值为定值（-$\frac{124}{81}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，分类讨论，属于难题．