Question

2．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$）与向量$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小．
（2）若BC=4，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量共线定理，列出方程，利用三角恒等变换求出角A的值；
（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面积S的最大值，并判断S取最大值时△ABC是等边三角形．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$）与向量$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共线，
∴sinA•（sinA+$\sqrt{3}$cosA）-$\frac{3}{2}$=0，…2分
∴$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$=0，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=1，
即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1；…4分
又∵A∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$；…6分
（2）由余弦定理得：16=b²+c²-bc，
∴16+bc=b²+c²≥2bc，
即bc≤16（当且仅当b=c时取等号）；
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤4$\sqrt{3}$，
∴S的最大值是4$\sqrt{3}$，…9分
当S取最大值时，b=c；
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等边三角形．…12分

点评 本题考查了平面向量的共线定理与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．