Question

19．某班5名学生的数学和物理成绩如下表：

	A	B	C	D	E
数学成绩（x）	88	76	73	66	63
物理成绩（y）	78	65	71	64	61

（1）求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
（2）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可写出回归直线方程；
（2）利用（1）中回归方程，计算x=96时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（88+76+73+66+63）=73.4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（78+65+71+64+61）=67.8，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25054，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=88²+76²+73²+66²+63²=27174，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{25054-5×73.4×67.8}{27174-5{×73.4}^{2}}$≈0.73，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=67.8-0.73×73.4≈14.22，
∴回归直线方程为$\widehat{y}$=0.73x+14.22；
（2）利用（1）中回归方程，
令x=96，则$\widehat{y}$=0.73×96+14.22=84.3，
∴一名学生的数学成绩是96时，试预测他的物理成绩是84.3．

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了计算能力，是中档题．