Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）直接对f（x）求导，当a＞0时，f′（x）=e^x-a的正负即可确定函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）对F（x）=f（x）-xlnx进行化简，构造函数h（x）=

ex-1

x

-lnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最小值，即可确定F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点；
（Ⅲ）求f（x）的导数，利用导数研究函数f（x）在[0，+∞）的单调性，然后讨论a的取值，从而确定f（x）的最值，即可确定实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，则f′（x）=e^x-a．
由f′（x）＞0，得x＞lna；由f′（x）＜0，得x＜lna，
所以函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx的定义域为（0，+∞），
由F（x）=0，得a=

ex-1

x

-lnx（x＞0）
令h（x）=

ex-1

x

-lnx（x＞0），则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，
由于x＞0，e^x-1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故h（x）≥h（1）=e-1．
又由（Ⅰ）知当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即ex-1＞x?

ex-1

x

＞1，
当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点；
当a=e-1时，函数F（x）有且仅有一个零点；
当a＜e-1时，函数F（x）没有零点．
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-1，则f′（x）=e^x-a．
①当a≤1时，对?x≥0，有f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又f（0）=0，即f（x）≥f（0）=0对?x≥0恒成立．
②当a＞1时，由（Ⅰ），f（x）单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna），
若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（a）=a-alna-1（a＞1），g′（a）=1-lna-1=-lna＜0，
即g（a）在区间（1，+∞）上单调递减，又g（1）=0，故g（a）＜0在（1，+∞）上恒成立，
故当a＞1时，满足a-alna-1≥0的a不存在．
综上所述，a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于难题．