Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+alnx（a＜0）．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：转化思想,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数f'（x），分别令它大于0，小于0，注意定义域（0，+∞），求出单调增区间，单调减区间，从而确定极值；
（Ⅱ）求出导数f'（x），令f'（x）=0，则x=

-a

，列表写出函数的单调区间，极小值说明也是最小值，求出它，将?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，转化为在x＞0上f（x）_min≥0，解不等式求出a的取值范围，注意a＜0的条件．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=

1

2

x2-lnx，（x＞0），f'（x）=x-

1

x

，
令f′(x)=x-

1

x

＞0，又x＞0，得x＞1，
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），
令f′(x)=x-

1

x

＜0，又x＞0，得0＜x＜1，
∴f（x）的单调减区间为（0，1），
∴f（x）在x=1处有极小值f(1)=

1

2

，无极大值；
（Ⅱ）∵a＜0，由f′(x)=x+

a

x

．令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=

-a

，
列表：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f′（x）	_	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴f（x）在x=

-a

处有极小值，也为最小值，即f(x) min=f(

-a

)=-

a

2

+aln

-a

，
∵?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，
∴-

a

2

+aln

-a

≥0，∴-e≤a＜0，
∴实数a的取值范围为[-e，0）．

点评：本题主要考查应用导数求单调区间，这里要注意函数的定义域，同时考查应用导数求极值、求最值，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题的能力，要认真体会．