Question

在△ABC中，证明：tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=1．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和的正切公式的变形、诱导公式，化简不等式的左边，从而得出结论．

解答： 证明：在△ABC中，∵tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=tan

A

2

（tan

B

2

+tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=tan

A

2

•[tan（

B

2

+

C

2

）（1-tan

B

2

tan

C

2

）]+tan

B

2

tan

C

2

 
=tan

A

2

•[tan

π-A

2

（1-tan

B

2

tan

C

2

）]+tan

B

2

tan

C

2

 
=tan

A

2

•cot

A

2

（1-tan

B

2

tan

C

2

）+tan

B

2

tan

C

2

=1-tan

B

2

tan

C

2

+tan

B

2

tan

C

2

=1，
∴tan

A

2

tan

B

2

+tan

B

2

tan

C

2

+tan

C

2

tan

A

2

=1成立．

点评：本题主要考查两角和的正切公式的变形应用，诱导公式，属于中档题．