Question

已知命题p：“直线y=x+

2

与椭圆x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共点”，命题q：“有且只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0”． 若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是给出命题p：“直线y=x+

2

与椭圆x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共点”，命题q：“有且只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0”，为真时a的取值范围，在根据p假，q假给出a的取值范围．

解答： 解：∵命题p：“直线y=x+

2

与椭圆x2+

y2

a

=1(a＞0且a≠1)有公共点”，
∴

y=x+ 2 x2+ y2 a =1

得，(a+1)x2+2

2

x+2-a=0(a≠0)
∴由△=(2

2

)2-4(a+1)(2-a)≥0，得
a≥1且a≠1
综上，a＞1
又∵命题q：有且只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0”． 
∴△=（2a）²-4×2a=0，得
a=0或2
∵命题“p或q”是假命题
∴p假q假
∴

a≤1 a≠0且a≠2

∴求实数a的取值范围：a≤1且a≠0

点评：题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．