Question

已知函数f(x)=

x3-x2+ax，x≤1 lnx，x＞1

，在x=1处连续．
（I）求a的值；
（II）求函数f（x）的单调减区间；
（III）若不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：函数的连续性,函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）由f（x）在x=1处连续，得f（1）=ln1，求出a的值；
（II）由（I）得f（x），利用导数判定f（x）的单调性与单调区间；
（III）构造函数g（x）=f（x）-x，利用导数判定g（x）的增减性，求出g（x）的最大值，即得c的取值范围．

解答： 解：（I）∵f（x）在x=1处连续，
∴f（1）=1-1+a=ln1，
∴a=0．
（II）由（I）得，f（x）=

x3-x2，x≤1 lnx，  x＞1

，
当x＜1时，f′(x)=3x2-2x，令f′(x)＜0，可得0＜x＜

2

3

．
当x＞1时，f′(x)=

1

x

，故f′(x)＞0．
所以函数f(x)的单调减区间为(0，

2

3

)．
（III）设g（x）=f（x）-x=

x3-x2-x，x≤1 lnx-x，  x＞1

，
当x＜1时，g'（x）=3x²-2x-1，
令g′(x)＞0，可得x＜-

1

3

或x＞1，即x＜-

1

3

；
令g′(x)＜0，可得-

1

3

＜x＜1．
可得(-∞，-

1

3

)为函数g(x)的单调增区间，(-

1

3

，1)为函数g(x)的单调减区间．
当x＞1时，g′(x)=

1

x

-1，
∴当x＞1时，g'（x）＜0．
∴（1，+∞）为函数g（x）的单调减区间，
又函数g（x）在x=1处连续，
于是函数g(x)的单调增区间为(-∞，-

1

3

)，单调减区间为(-

1

3

，+∞)．
所以函数g(x)的最大值为g(-

1

3

)=-

1

27

-

1

9

+

1

3

=

5

27

，
要使不等式f（x）≤x+c对一切x∈R恒成立，
即g（x）≤c对一切x∈R恒成立，
又g(x)≤

5

27

，
∴c的取值范围为{c|c≥

5

27

}．

点评：本题考查了利用导数研究分段函数的单调性与最值以及不等式的恒成立问题，是难题．