Question

已知动圆C经过点A（2，-3）和B（-2，-5）．
（Ⅰ）若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆心C在x轴上，且使得三角形ABC面积为5，求圆C的方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（I）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据题意建立关于a、b、r的方程组，解之即可得出圆C的方程；
（II）设圆心C（a，0），利用点到直线的距离公式与三角形的面积公式，结合两点间的距离公式加以计算，可得a=13或a=3，从而得到所求圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设所求圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据已知条件得

(2-a)2+(-3-b)2=r2 (-2-a)2+(-5-b)2=r2 3a+b+5=0

⇒

a=-1 b=-2 r2=10

．
∴圆C的方程为（x+1）²+（y+2）²=10；
（Ⅱ）∵圆心C在x轴上，∴设圆心C（a，0），
∵|AB|=

(-2-2)2+(-5+3)2

=2

5

，
且直线AB的方程为

y+3

-5+3

=

x+2

2+2

，即x-2y-8=0
∴点C到直线AB的距离d=

|a-8|

5

，
可得S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

5

×

|a-8|

5

=5，解得a=13或a=3，
∴圆C的方程为（x-13）²+y²=130或（x-3）²+y²=10．

点评：本题给出圆C经过两个定点且圆心在定直线上，求圆的方程并依此解决三角形的面积问题．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．