题目内容
如图四棱锥P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2| 2 |
（1）确定实数t，使得
| PM |
| MC |
（2）求平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面所成的角
专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用
分析：（1）连结AC，设AC∩OB=N，则平面PAC∩平面OBM=MN，由此推导出△ONA∽△BNC，从而能求出t的值．
（2）由已知条件推导出PO⊥平面ABCD，设线段BC的中点为E，以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．
（2）由已知条件推导出PO⊥平面ABCD，设线段BC的中点为E，以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．
解答：
解：（1）连结AC，设AC∩OB=N，则平面PAC∩平面OBM=MN，
∵PA∥平面OBM，∴MN∥PA，
∴t=
=
，
又∵BC∥AD，∴△ONA∽△BNC，
∴t=
=
=
=
．
（2）∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
设线段BC的中点为E，由于ABCD是等腰梯形，∴OE⊥AD，
如图以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵OP=
=4，OE=
=2，
∴A（3，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-3，0，0），P（0，0，4），
平面PAD的法向量
=（0，1，0），设平面OBM的法向量
=（x，y，z），
由
•
=0，
•
=0，
∴
，令x=1，得
=（1，-
，
），
∴cos＜
，
＞=
=-
=-
，
∴平面PAD与平面OBM夹角的余弦值为
．
∵PA∥平面OBM，∴MN∥PA，
∴t=
| PM |
| MC |
| AN |
| NC |
又∵BC∥AD，∴△ONA∽△BNC，
∴t=
| PM |
| MC |
| AN |
| NC |
| AO |
| CB |
| 3 |
| 2 |
（2）∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
设线段BC的中点为E，由于ABCD是等腰梯形，∴OE⊥AD，
如图以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵OP=
| PA2-OA2 |
| AB2-(OA-EB)2 |
∴A（3，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-3，0，0），P（0，0，4），
平面PAD的法向量
| m |
| n |
由
| n |
| OB |
| n |
| PA |
∴
|
| n |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
∴cos＜
| m |
| n |
-
| ||||||
1×
|
| 2 | ||
|
2
| ||
| 29 |
∴平面PAD与平面OBM夹角的余弦值为
2
| ||
| 29 |
点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查平面与平面所成的角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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