题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是角A、C的对边，m=（b，2a-c），n=（cosB，cosC）且m∥n．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cosωx+sin（ωx+
）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cosωx+sin（ωx+
| B |
| 2 |
| π |
| 2 |
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）根据m∥n，可得到bcosC=（2a-c）cosB，再利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．结合三角形内角和及三角函数诱导公式即可求出B的值．
（2）首先将函数f（x）化简为f（x）=
sin（ωx+
），最小正周期为π，则ω=2．从而得到f（x）=
sin（2x+
），利用三角函数的性质即可求出最值．
（2）首先将函数f（x）化简为f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵m∥n，
∴bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理可得，
sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又∵B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=
．
∵B∈（0，π），
∴B=
．
（Ⅱ）f（x）=cosωx+sin（ωx+
）
=cosωx+sin（ωx+
）
=
sinωx+
cosωx
=
sin（ωx+
）
又∵f（x）的最小正周期为π，
∴T=
=π．
∴ω=2．
∴f（x）=
sin（2x+
）．
当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]．
∴sin（2x+
）∈[-
，1]．
∴当2x+
=
，即x=
时，f（x）取得最大值
．
当2x+
=
，即x=
时，f（x）取得最小值
．
∴bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理可得，
sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又∵B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），
∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）f（x）=cosωx+sin（ωx+
| B |
| 2 |
=cosωx+sin（ωx+
| π |
| 6 |
=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 3 |
又∵f（x）的最小正周期为π，
∴T=
| 2π |
| ω |
∴ω=2．
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴当2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 3 |
当2x+
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查向量数量积，三角函数求值等知识的综合应用，属于中档题．
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