Question

某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1～48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

编号	性别	投篮成绩
3	男	90
7	女	60
11	男	75
15	男	80
19	女	85
23	男	80
27	男	95
31	男	80
35	男	80
39	女	60
43	男	75
47	女	55

甲抽取的样本数据                                                              

编号	性别	投篮成绩
1	男	95
8	男	85
10	男	85
17	男	80
23	男	60
24	男	90
27	男	80
31	女	80
35	女	65
37	女	35
41	女	60
46	女	75

乙抽取的样本数据      
（Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

	优秀	非优秀	合计
男
女
合计			12

（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由．
下面的临界值表供参考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n-a+b+c+d）

Answer 1

考点：线性回归方程

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）确定投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人，X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）写出2×2列联表，求出K²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅲ）利用分层抽样方法比系统抽样方法的定义，可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．
X的所有可能取值为0，1，2．…（1分）
所以P（X=0）=

C 2 5

C 2 12

=

5

33

，P（X=1）=

C 1 7 C 1 5

C 2 12

=

35

66

，P（X=2）=

C 2 7

C 2 12

=

7

22

．…（4分）
故X的分布列为

X	0	1	2
P	5 33	35 66	7 22

…（5分）
∴EX=0×

5

33

+1×

35

66

+2×

7

22

=

7

6

．    …（6分）
（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得2×2列联表如下：

	优秀	非优秀	合计
男	6	1	7
女	1	4	5
合计	7	5	12

…（7分）
K²=

12(6×4-1×1)2

7×5×5×7

≈5.182＞3.841，…（9分）
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．        …（10分）
（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．  …（11分）
由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．  …（13分）

点评：本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等，属于中档题．